A labdarúgással az angyalföldi grundokon, gyermekként ismerkedett meg. Jóllehet tizenkét éves korától igazolt játékos volt alsóbb osztályokban, hamar belátta, hogy nem olyan tehetséges, mint az akkor világhírű magyar focisták. Úgy érezte, hogy a pálya széléről többet tud nyújtani a sportnak. Ez utóbbit szó szerint kell érteni, mert 1945-ben rádiós lett, s az oldalvonal mellett állva közvetítette a meccseket. Ezek közül alighanem a leghíresebb az 1953-as londoni 6:3, az „évszázad mérkőzése”, amelyet milliók hallgattak idehaza, Szepesire pedig ráragadt az elismerő minősítés: ő az Aranycsapat 12. játékosa.
Szervezője volt a Magyar Rádió Körkapcsolás című műsorának, amely rövid idő alatt hatalmas népszerűségre tett szert, és 1963-tól 2009-ig kíváncsi rádióhallgatók millióihoz juttatta el a magyar stadionok hangulatát. Ő honosította meg azt a sportközvetítési stílust, amelyben a riporter lelkesen, magas hőfokon együtt él a játékkal, a csapattal, a versenyzővel, azonosul a történésekkel, együtt örül a sikernek, a győzelemnek, s kesereg balsiker, vereség esetén.
Az olimpiáról először 1948-ban tudósított, s sorozatban tizenöt ötkarikás nyári játékról közvetített egyedi stílusban az éteren keresztül. Egy híján félszáz magyar olimpiai aranyérem megszületésénél lehetett ott, az 1964-ben Tokióban győztes magyar vízilabda válogatott döntő mérkőzésén például egy ország kiáltotta vele: „Lőj, Dömötör!” Emellett tizennégy labdarúgó-világbajnokságnak is a kommentátora volt, s bekerült a Guinness-féle Rekordok könyvébe. Ő ugyanis a világ leghosszabb időn át tevékenykedő sportriportere, a 2005-ös Magyarország–Argentína barátságos futballmérkőzésnek csaknem napra pontosan hatvan évvel azután lehetett a rádiós szakkommentátora, hogy az 1945-ös magyar–osztrákon bemutatkozott sportriporterként.
A sport mellett a politikai újságírásba is beletanult: 1975 és 1978 között az MTI bonni tudósítója volt, 1981-től 1992-es nyugdíjba vonulásáig a Magyar Rádió Szórakoztató és Sportfőosztályának vezetőjeként dolgozott. Társadalmi megbízatásokat is vállalt szeretett sportágában: 1979 és 1986 között volt a Magyar Labdarúgó Szövetség elnöke, elnöksége idején szerepelt utoljára a magyar labdarúgó-válogatott világbajnokságon, a balsikerű 1986-os mexikói tornán. 1982-ben beválasztották a FIFA végrehajtó bizottságába, s tagja volt a Magyar Olimpiai Bizottságnak is.
